Bankroll para un sitngo y muestra suficiente

Holas! En mucho tiempo me he preguntado cuánto capital de juego es suficiente para un sitngo. Hablo de los turbos, puesto que son más rentables que los normales. Por un lado leo que se necesitan unas 50 cajas, por otro lado estiman que más y otros menos. Pues nunca he visto una explicación sensata de ello, por lo que haré un estimativo del capital de juego requerido. Además surge una pregunta aun más importante: cuándo un número de torneos es suficiente para ser una muestra confiable.

La respuesta es muy subjetiva empezando porque todos tenemos ROIs muy diferentes, mas sin embargo cogeré uno típico de 9%. Entonces consulto en Sharkscope.com y me encuentro con un monstruo como es el jugador de poker stars Glitlr. Él tiene un ROI de 9% en con casi 50000 torneos jugados de 16 dólares.

Glitlr

48,189

$1

$16

9%

$69,590

-

75

PokerStars

Para saber el capital de juego necesitamos de dos variables: La expectativa de ganancia y la varianza. La primera nos lo presenta la tabla y la segunda la debemos encontrar con ladistribución de posiciones y su correspondiente pago. Así, se recibe un pago de 3.2 unidades (dan 67.5 dólares al primero) un 13.5% de las veces; 1.5 un 11,9%; 0.71 un 13.7%; y -1 cada 60.9% de los torneos.

La varianza es, entonces:

V=SUM (prob * (Pago-Expectativa)^2)

V=0.135(3.2-0.09)^2+0.119(1.5-0.09)^2+0.137(0.71-0.09)^2+0.609(-1-0.09)^2

V =2.31 unidades^2

Necesitamos esas dos variables para introducirlas en la fórmula del riesgo de ruina (ROR). Aqui entra otro parámetro subjetivo porque para unos un ROR de 10% les parece suficiente mas para otros es riesgoso. Como yo suelo tener grandes rachas arriba y abajo siento que 0.00001% es lo necesario, pero como nadie tiene un capital tan alto podemos suponer que 1% sería bueno para un semipro. El ROR es, según vemos en Mathematics of poker comentado en el pot pasado:

ROR= e^(-2BE/V)

Donde B es el bankroll, E la expectativa de ganancia y V la varianza. Con nuestros parámetros podemos despejar B

B=-(V/2E)*ln(ROR)

B=-(2.31/0.18)*ln(0.01)= 60 unidades aproximadamente

Este resultado confirma lo que aparece en muchos textos y artículos. Fíjense que si pensamos en un ROR de 10% el capital sería de 30 unidades, lo cual es el recomendado para el jugador casual.

Ahora, el jugador de quien hablo es un superpro que no tiene un muy buen ROI, puesto que lo mejor para los turbos son 15-16%, mas rentabiliza sus ganancias en forma de multitableo extremo. Para quien empieza a ser ganador, o aún necesita reforzar sus conocimientos, tendrá un ROI de 4-5%. En este caso, la varianza permanecerá aproximadamente igual (Lo cual se puede verificar alterando las probabilidades de los puestos) y necesitaremos el doble de bankroll, unas 120 cajas.

Fíjense que si se nos reduce la expectativa a la mitad, sin alterar la varianza, nuestro riesgo de ruina no subirá el doble sino la raíz de él. Por ejemplo, si tenemos un 1% de ROR y caemos en una mesa de muy buenos jugadores, estimando una caída de nuestra expectativa a la mitad, el ROR no aumentará a un 2% sino al 10%!! (raiz de 0.01 es 0.1). Doblando nuestro bankroll no caerá hasta la mitad, 5%, sino volverá a la normalidad del 1%. Otra trampa más del crecimiento exponencial.

---

Nos queda la última pregunta del número necesario de sits para una muestra confiable. Necesitaremos de la ley de los grandes números para este último cálculo. En un número determinado de datos, existe una probabilidad de 67% de que nuestro ROI resulte dentro del intervalo E-D y E+D, donde E es nuestra expectativa comentada y D es la desviación estándar, la raíz de la varianza, un 95% de que caiga entre E-2D y E+2D y un 99.7% entre E-3Dy E+3D. Notamos que la expectativa de ganancia aumenta linealmente conforme jugamos los torneos mas la desviación estándar crecerá más lentamente debido a la raíz cuadrada.

Usando el ejemplo de Glitlr, si jugamos 1000 torneos, al final tendremos 1000*0.09=90 unidades y una desviación estándar de raíz de (1000*2.3) = 48. Esto es existe una probabilidad del 67% de que las ganancias estén entre 42 unidades y 138 unidades. Y si sabemos del sube y baja del juego sabremos que existe una probabilidad de 95% de estar entre -6 y 186 unidades y 99.% de estar entre -54 y 234 unidades.

Usemos el 99,7% de probabilidad, por la misma razón de querer un 1% de ROR. El número N de torneos a jugar para caer en un intervalo de tan sólo dos puntos porcentuales, entre 8.5 y 9.5% es:

NE+3raiz(NV)-NE+3raiz(NV)=N*0.01

N=36*V/0.01^2

N=830000 aprox

Wow! Número muy grande, si juegas 10000 al año necesitarás toda la vida para saber si el 9% es el nivel al que realmente perteneces. Es por esta razón que pienso que no se puede comparar a alguien que tenga un ROI de 6% con uno de 9% ni tan siquiera con los resultados de un año. Tampoco se puede afanar uno con los malos resultados de un mes, ni sobreexaltarse con los buenos. Esto demuestra una vez más lo increíble que puede llegar a ser la varianza y por todo lo que hay que soportar.

De todas formas, podemos garantizar que si jugás sólo 2500 torneos vas a tener un 99.7% de saldo positivo, igualando el intervalo E-3D a cero. Pero si nuestra E es más bajo, como del 5%, se precisarán de 8300 torneos.

Ahora, siendo un jugador casual, consideramos los valores para el intervalo al que va a caer el 95% de los torneos, queriendo llegar a una diferencial porcentual de 3%:

N= 16*V/0.03^2= 40000 aprox

Así necesitaríamos unos 4 años para tener un resultado fiable, a menos que seas como Glitlr y puedas completarlo en 6 meses. Ah!, y sólo necesitas 1100 torneos para sacar un 95% de resultados positivos.

En conclusión, precisamos de unas 100 cajas si queremos soportar duras caídas cuando nuestro nivel no sea del todo óptimo y con un juego constante y paciente tendremos que esperar al menos unos 8000 torneos para un balance que nos indique positivo, pero no sabremos nuestro ROI real hasta que juguemos muuuuuuucho. Y eso que son torneos de sólo 9 personas, no me imagino los torneos grandes multimesa. Después no pregunten por qué tanto mocoso se vuelve famoso de un día para otro....